LDU Decomposition

定义 Definition

LDU decomposition（LDU分解）是一种矩阵分解：把一个方阵 \(A\) 表示为
\[ A = L D U \] 其中 \(L\) 是单位下三角矩阵（对角线为1）、\(D\) 是对角矩阵、\(U\) 是单位上三角矩阵。它常用于线性方程组求解、数值计算与矩阵性质分析；在很多情况下与 LU 分解密切相关（把 \(LU\) 中的尺度因子“抽”到 \(D\) 里）。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌɛl diː ˈjuː ˌdiːkəmˈpəʊzɪʃən/

例句 Examples

We use LDU decomposition to solve the linear system efficiently.
我们使用LDU分解来高效求解线性方程组。

With partial pivoting, the matrix can often be factored into an LDU decomposition that improves numerical stability in computation.
在部分选主元的情况下，矩阵通常可以分解为LDU形式，从而在计算中提升数值稳定性。

词源 Etymology

L、D、U分别是 Lower（下三角）、Diagonal（对角）、Upper（上三角）的首字母缩写；“decomposition”来自拉丁语词根 componere（“放在一起、组成”），前缀 de- 在这里表示“分开、拆解”，整体含义就是“把一个对象拆分成可组合的部分”。在数值线性代数里，这类以结构矩阵相乘来表示原矩阵的方法被统称为“分解”。

相关词 Related Words

• LU Decomposition
• Gaussian Elimination
• Pivoting
• Cholesky Decomposition
• QR Decomposition
• Matrix Factorization
• Triangular Matrix
• Diagonal Matrix

文学与经典著作 Literary Works

• Gene H. Golub & Charles F. Van Loan, Matrix Computations（讨论LU类分解及其等价/变体形式，常涉及将尺度分离为对角因子，即LDU视角）
• Lloyd N. Trefethen & David Bau, Numerical Linear Algebra（在高斯消元与LU分解框架下可引出LDU表示）
• Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra（介绍三角分解思想，相关章节常用L、U（及对角缩放）表达求解过程）
• Roger A. Horn & Charles R. Johnson, Matrix Analysis（在矩阵理论与分解讨论中会出现与LDU相关的结构分解表述）